Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1+(1+x)*(1+2*x)*(1+3*x))/x
-
Expresiones idénticas
- ((- uno +x)/(uno +x))^x
- (( menos 1 más x) dividir por (1 más x)) en el grado x
- (( menos uno más x) dividir por (uno más x)) en el grado x
- ((-1+x)/(1+x))x
- -1+x/1+xx
- -1+x/1+x^x
- ((-1+x) dividir por (1+x))^x
-
Expresiones semejantes
- ((-1+x)/(1-x))^x
- ((1+x)/(1+x))^x
- ((-1-x)/(1+x))^x
Límite de la función ((-1+x)/(1+x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/-1 + x\
lim |------|
x->oo\1 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
Limit(((-1 + x)/(1 + x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 2}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 2}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 1}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 1}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
x
/-1 + x\
lim |------|
x->0+\1 + x /
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
1
$$1$$
= (1.0 - 3.97256901687481e-28j)
x
/-1 + x\
lim |------|
x->0-\1 + x /
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x}$$
1
$$1$$
= (1.0 + 3.97256901687481e-28j)
= (1.0 + 3.97256901687481e-28j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico