Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro + tres *x)/(cinco + tres *x))^(uno +x)
- ((4 más 3 multiplicar por x) dividir por (5 más 3 multiplicar por x)) en el grado (1 más x)
- ((cuatro más tres multiplicar por x) dividir por (cinco más tres multiplicar por x)) en el grado (uno más x)
- ((4+3*x)/(5+3*x))(1+x)
- 4+3*x/5+3*x1+x
- ((4+3x)/(5+3x))^(1+x)
- ((4+3x)/(5+3x))(1+x)
- 4+3x/5+3x1+x
- 4+3x/5+3x^1+x
- ((4+3*x) dividir por (5+3*x))^(1+x)
-
Expresiones semejantes
- ((4+3*x)/(5+3*x))^(1-x)
- ((4-3*x)/(5+3*x))^(1+x)
- ((4+3*x)/(5-3*x))^(1+x)
Límite de la función ((4+3*x)/(5+3*x))^(1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + x
/4 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\5 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
Limit(((4 + 3*x)/(5 + 3*x))^(1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 1}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3} - \frac{2}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 1}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{3 x + 5}\right)^{x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3} - \frac{2}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = \frac{49}{64}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = \frac{49}{64}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = \frac{49}{64}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = \frac{49}{64}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 5}\right)^{x + 1} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico