Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{5} + \frac{1}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{3} + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{5} + 1}{6 x^{3} + 8}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{5} + 1}{2 \left(3 x^{3} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{5} + \frac{1}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{3} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2}}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)