Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(3 x^{2} + 4 x - 7\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{4 x + \left(3 x^{2} - 7\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{3 x^{2} + 4 x - 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 4 x - 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{6 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2}{6 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2}{6 x + 4}\right)$$
=
$$\frac{1}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)