Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
- Gráfico de la función y =:
-
n^2/(1+n)^2
-
Expresiones idénticas
- n^ dos /(uno +n)^ dos
- n al cuadrado dividir por (1 más n) al cuadrado
- n en el grado dos dividir por (uno más n) en el grado dos
- n2/(1+n)2
- n2/1+n2
- n²/(1+n)²
- n en el grado 2/(1+n) en el grado 2
- n^2/1+n^2
- n^2 dividir por (1+n)^2
-
Expresiones semejantes
- n^2/(1-n)^2
Límite de la función n^2/(1+n)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| n |
lim |--------|
n->oo| 2|
\(1 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
Limit(n^2/(1 + n)^2, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{2} + 2 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{2} + 2 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{2}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2 n}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{2}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2 n}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico