Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Límite de (-sin(x)+tan(x))/(x-sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(5-x))/(-1+sqrt(2-x))
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x)/(tres +x))^(- uno + cuatro *x)
- ((1 más x) dividir por (3 más x)) en el grado ( menos 1 más 4 multiplicar por x)
- ((uno más x) dividir por (tres más x)) en el grado ( menos uno más cuatro multiplicar por x)
- ((1+x)/(3+x))(-1+4*x)
- 1+x/3+x-1+4*x
- ((1+x)/(3+x))^(-1+4x)
- ((1+x)/(3+x))(-1+4x)
- 1+x/3+x-1+4x
- 1+x/3+x^-1+4x
- ((1+x) dividir por (3+x))^(-1+4*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+x)/(3+x))^(1+4*x)
- ((1-x)/(3+x))^(-1+4*x)
- ((1+x)/(3-x))^(-1+4*x)
- ((1+x)/(3+x))^(-1-4*x)
Límite de la función ((1+x)/(3+x))^(-1+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + 4*x
/1 + x\
lim |-----|
x->oo\3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
Limit(((1 + x)/(3 + x))^(-1 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 2}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u - 13}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{13}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{13}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8} = e^{-8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = e^{-8}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 2}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 3}\right)^{4 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u - 13}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{13}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{13}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8} = e^{-8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = e^{-8}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = e^{-8}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = e^{-8}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 3}\right)^{4 x - 1} = e^{-8}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico