Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (4+x^3+5*x^2+8*x)/(-4+x^3+3*x^2)
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(-1+x)-sqrt(7-x))/(-4+x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x)/(cinco +x))^(x/ dos)
- ((1 más x) dividir por (5 más x)) en el grado (x dividir por 2)
- ((uno más x) dividir por (cinco más x)) en el grado (x dividir por dos)
- ((1+x)/(5+x))(x/2)
- 1+x/5+xx/2
- 1+x/5+x^x/2
- ((1+x) dividir por (5+x))^(x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- ((1+x)/(5-x))^(x/2)
- ((1-x)/(5+x))^(x/2)
Límite de la función ((1+x)/(5+x))^(x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
2
/1 + x\
lim |-----|
x->oo\5 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
Limit(((1 + x)/(5 + x))^(x/2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 4}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{5}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 4}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{5}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 5}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo