Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} 2^{n} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(2^{- n} n^{3}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{3}}{\frac{d}{d n} 2^{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 \cdot 2^{- n} n^{2}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{3 n^{2}}{\log{\left(2 \right)}}}{\frac{d}{d n} 2^{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{6 \cdot 2^{- n} n}{\log{\left(2 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{6 n}{\log{\left(2 \right)}^{2}}}{\frac{d}{d n} 2^{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{6 \cdot 2^{- n}}{\log{\left(2 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{6 \cdot 2^{- n}}{\log{\left(2 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)