Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 10 x + 25\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{2}$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 5\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 10 x + 25\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 10}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 10\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)