Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-3+sqrt(4+x))/(-2+sqrt(-1+x))
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (-2+sqrt(x))/(-3+sqrt(1+2*x))
- Límite de (a^x-x^a)/(x-a)
-
Expresiones idénticas
- (uno + uno /(cinco +x))^(dos *x)
- (1 más 1 dividir por (5 más x)) en el grado (2 multiplicar por x)
- (uno más uno dividir por (cinco más x)) en el grado (dos multiplicar por x)
- (1+1/(5+x))(2*x)
- 1+1/5+x2*x
- (1+1/(5+x))^(2x)
- (1+1/(5+x))(2x)
- 1+1/5+x2x
- 1+1/5+x^2x
- (1+1 dividir por (5+x))^(2*x)
-
Expresiones semejantes
- (1-1/(5+x))^(2*x)
- (1+1/(5-x))^(2*x)
Límite de la función (1+1/(5+x))^(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x
/ 1 \
lim |1 + -----|
x->oo\ 5 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x}$$
Limit((1 + 1/(5 + x))^(2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u - 10}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u - 10}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = e^{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = \frac{49}{36}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = \frac{49}{36}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = \frac{49}{36}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = \frac{49}{36}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x + 5}\right)^{2 x} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo