Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
- Límite de (x^m-a^m)/(x^n-a^n)
-
Límite de (3+x^2+x^3-5*x)/(1+x^3-x-x^2)
-
Límite de ((2+x)/(-3+x))^(5*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(- dos +x)*(sqrt(x)-sqrt(dos))/(- cuatro +x^ dos)
- raíz cuadrada de ( menos 2 más x) multiplicar por ( raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de (2)) dividir por ( menos 4 más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de ( menos dos más x) multiplicar por ( raíz cuadrada de (x) menos raíz cuadrada de (dos)) dividir por ( menos cuatro más x en el grado dos)
- √(-2+x)*(√(x)-√(2))/(-4+x^2)
- sqrt(-2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x2)
- sqrt-2+x*sqrtx-sqrt2/-4+x2
- sqrt(-2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x²)
- sqrt(-2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x en el grado 2)
- sqrt(-2+x)(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x^2)
- sqrt(-2+x)(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x2)
- sqrt-2+xsqrtx-sqrt2/-4+x2
- sqrt-2+xsqrtx-sqrt2/-4+x^2
- sqrt(-2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2)) dividir por (-4+x^2)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(-2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4-x^2)
- sqrt(-2+x)*(sqrt(x)+sqrt(2))/(-4+x^2)
- sqrt(-2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(4+x^2)
- sqrt(-2-x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x^2)
- sqrt(2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(-4+x)
- sqrt(1+x^2-x)-x
- sqrt(14+x^2+8*x)-x
- sqrt(x^2+3*x)-sqrt(x+x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(-4+x)
- sqrt(1+x^2-x)-x
- sqrt(14+x^2+8*x)-x
- sqrt(x^2+3*x)-sqrt(x+x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(-4+x)
- sqrt(1+x^2-x)-x
- sqrt(14+x^2+8*x)-x
- sqrt(x^2+3*x)-sqrt(x+x^2)
Límite de la función sqrt(-2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ / ___ ___\\
|\/ -2 + x *\\/ x - \/ 2 /|
lim |--------------------------|
x->2+| 2 |
\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
Limit((sqrt(-2 + x)*(sqrt(x) - sqrt(2)))/(-4 + x^2), x, 2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x - 2}} - \frac{4}{\sqrt{x - 2}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x - 2}} - \frac{4}{\sqrt{x - 2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{x - 2}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{4 \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(x \sqrt{x - 2} - 2 \sqrt{x - 2}\right)} + \frac{2 x}{\sqrt{x - 2}} + \frac{2}{x \sqrt{x - 2} - 2 \sqrt{x - 2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{4 \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(x \sqrt{x - 2} - 2 \sqrt{x - 2}\right)} + \frac{2 x}{\sqrt{x - 2}} + \frac{2}{x \sqrt{x - 2} - 2 \sqrt{x - 2}}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x - 2}} - \frac{4}{\sqrt{x - 2}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x - 2}} - \frac{4}{\sqrt{x - 2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{x - 2}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{4 \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(x \sqrt{x - 2} - 2 \sqrt{x - 2}\right)} + \frac{2 x}{\sqrt{x - 2}} + \frac{2}{x \sqrt{x - 2} - 2 \sqrt{x - 2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{4 \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(x \sqrt{x - 2} - 2 \sqrt{x - 2}\right)} + \frac{2 x}{\sqrt{x - 2}} + \frac{2}{x \sqrt{x - 2} - 2 \sqrt{x - 2}}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ________ / ___ ___\\
|\/ -2 + x *\\/ x - \/ 2 /|
lim |--------------------------|
x->2+| 2 |
\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
0
$$0$$
= 0.00124261209350746
/ ________ / ___ ___\\
|\/ -2 + x *\\/ x - \/ 2 /|
lim |--------------------------|
x->2-| 2 |
\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right)$$
0
$$0$$
= (0.0 + 0.00124711570604612j)
= (0.0 + 0.00124711570604612j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{i}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{i}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{i}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{i}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{i}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = \frac{i}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{i}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = - \frac{i}{3} + \frac{\sqrt{2} i}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \sqrt{x - 2}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico