Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
- Límite de (x^m-a^m)/(x^n-a^n)
-
Límite de (3+x^2+x^3-5*x)/(1+x^3-x-x^2)
-
Límite de ((2+x)/(-3+x))^(5*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(catorce +x^ dos + ocho *x)-x
- raíz cuadrada de (14 más x al cuadrado más 8 multiplicar por x) menos x
- raíz cuadrada de ( cotangente de angente de orce más x en el grado dos más ocho multiplicar por x) menos x
- √(14+x^2+8*x)-x
- sqrt(14+x2+8*x)-x
- sqrt14+x2+8*x-x
- sqrt(14+x²+8*x)-x
- sqrt(14+x en el grado 2+8*x)-x
- sqrt(14+x^2+8x)-x
- sqrt(14+x2+8x)-x
- sqrt14+x2+8x-x
- sqrt14+x^2+8x-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(14-x^2+8*x)-x
- sqrt(14+x^2-8*x)-x
- sqrt(14+x^2+8*x)+x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(-4+x)
- sqrt(1+x^2-x)-x
- sqrt(-2+x)*(sqrt(x)-sqrt(2))/(-4+x^2)
- sqrt(x^2+3*x)-sqrt(x+x^2)
Límite de la función sqrt(14+x^2+8*x)-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______________ \
| / 2 |
lim \\/ 14 + x + 8*x - x/
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right)$$
Limit(sqrt(14 + x^2 + 8*x) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) \left(x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right)}{x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 14}{x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 14}{x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{14}{x}}{1 + \frac{\sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{14}{x}}{\sqrt{\frac{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{14}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{14}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{14}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{14}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{14 u + 8}{\sqrt{14 u^{2} + 8 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 14 + 8}{1 + \sqrt{0 \cdot 8 + 14 \cdot 0^{2} + 1}} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) \left(x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right)}{x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 14}{x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x + 14}{x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{14}{x}}{1 + \frac{\sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{14}{x}}{\sqrt{\frac{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{14}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{14}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 + \frac{14}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{14}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{14 u + 8}{\sqrt{14 u^{2} + 8 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 14 + 8}{1 + \sqrt{0 \cdot 8 + 14 \cdot 0^{2} + 1}} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = 4$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = \sqrt{14}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = \sqrt{14}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = -1 + \sqrt{23}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = -1 + \sqrt{23}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = \sqrt{14}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = \sqrt{14}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = -1 + \sqrt{23}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = -1 + \sqrt{23}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 14\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico