Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((-3+x)/x)^(x/2)
-
Límite de (-1+4*x+5*x^2)/(-2+x+3*x^2)
-
Límite de (-1+x-2*x^2+2*x^3)/(-3+x^3-x^2+3*x)
-
Límite de (1+4/x)^(1+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x^ dos -x)-x
- raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado menos x) menos x
- raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos menos x) menos x
- √(1+x^2-x)-x
- sqrt(1+x2-x)-x
- sqrt1+x2-x-x
- sqrt(1+x²-x)-x
- sqrt(1+x en el grado 2-x)-x
- sqrt1+x^2-x-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+x^2-x)+x
- sqrt(1+x^2+x)-x
- sqrt(1-x^2-x)-x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt(2+x)/x
- sqrt(x^2+3*x)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(-2+x^2)-x
- sqrt(1+x^2-x)
Límite de la función sqrt(1+x^2-x)-x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ \
| / 2 |
lim \\/ 1 + x - x - x/
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x^2 - x) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) \left(x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u - 1}{\sqrt{u^{2} - u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{-1}{1 + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) \left(x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - x}{x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u - 1}{\sqrt{u^{2} - u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{-1}{1 + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico