Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (e^x-e^sin(x))/(x-sin(x))
- (e en el grado x menos e en el grado seno de (x)) dividir por (x menos seno de (x))
- (ex-esin(x))/(x-sin(x))
- ex-esinx/x-sinx
- e^x-e^sinx/x-sinx
- (e^x-e^sin(x)) dividir por (x-sin(x))
-
Expresiones semejantes
- (e^x+e^sin(x))/(x-sin(x))
- (e^x-e^sin(x))/(x+sin(x))
- (e^x-e^sinx)/(x-sinx)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2)^2/x
- sin(8*x)/(5*x)
- sin(12*x)/(3*x)
- sin(1/(-1+x))
- sin(x)^2+cos(x)
- Seno sin
- sin(2)^2/x
- sin(8*x)/(5*x)
- sin(12*x)/(3*x)
- sin(1/(-1+x))
- sin(x)^2+cos(x)
Límite de la función (e^x-e^sin(x))/(x-sin(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x sin(x)\
|E - E |
lim |------------|
x->0+\ x - sin(x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)$$
Limit((E^x - E^sin(x))/(x - sin(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + 3 e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{3}{\left(x \right)} + e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + 3 e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{3}{\left(x \right)} + e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + 3 e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{3}{\left(x \right)} + e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + 3 e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{3}{\left(x \right)} + e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{e - e^{\sin{\left(1 \right)}}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{e - e^{\sin{\left(1 \right)}}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{e - e^{\sin{\left(1 \right)}}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{e - e^{\sin{\left(1 \right)}}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x sin(x)\
|E - E |
lim |------------|
x->0+\ x - sin(x) /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
/ x sin(x)\
|E - E |
lim |------------|
x->0-\ x - sin(x) /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
= 1.0
Gráfico