Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (1+3/x)^(-2*x)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            -2*x
     /    3\    
 lim |1 + -|    
x->oo\    x/    
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x}$$
Limit((1 + 3/x)^(-2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x} = e^{-6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Respuesta rápida [src]
 -6
e  
$$e^{-6}$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{- 2 x} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo