Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 3} - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 - x\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 3} - 2}{7 - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x - 3} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(7 - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)