Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(tres +x^ dos + ocho *x)-sqrt(tres +x^ dos + cuatro *x)
- raíz cuadrada de (3 más x al cuadrado más 8 multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (3 más x al cuadrado más 4 multiplicar por x)
- raíz cuadrada de (tres más x en el grado dos más ocho multiplicar por x) menos raíz cuadrada de (tres más x en el grado dos más cuatro multiplicar por x)
- √(3+x^2+8*x)-√(3+x^2+4*x)
- sqrt(3+x2+8*x)-sqrt(3+x2+4*x)
- sqrt3+x2+8*x-sqrt3+x2+4*x
- sqrt(3+x²+8*x)-sqrt(3+x²+4*x)
- sqrt(3+x en el grado 2+8*x)-sqrt(3+x en el grado 2+4*x)
- sqrt(3+x^2+8x)-sqrt(3+x^2+4x)
- sqrt(3+x2+8x)-sqrt(3+x2+4x)
- sqrt3+x2+8x-sqrt3+x2+4x
- sqrt3+x^2+8x-sqrt3+x^2+4x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(3+x^2+8*x)+sqrt(3+x^2+4*x)
- sqrt(3+x^2+8*x)-sqrt(3+x^2-4*x)
- sqrt(3+x^2+8*x)-sqrt(3-x^2+4*x)
- sqrt(3-x^2+8*x)-sqrt(3+x^2+4*x)
- sqrt(3+x^2-8*x)-sqrt(3+x^2+4*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
Límite de la función sqrt(3+x^2+8*x)-sqrt(3+x^2+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ______________ ______________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 3 + x + 8*x - \/ 3 + x + 4*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
Limit(sqrt(3 + x^2 + 8*x) - sqrt(3 + x^2 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) \left(\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)}{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)^{2}}{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} - 3\right)\right) + \left(8 x + \left(x^{2} + 3\right)\right)}{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x}{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\frac{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)}}{x} + \frac{\sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{\frac{4 x + \left(x^{2} + 3\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4}{\sqrt{3 u^{2} + 4 u + 1} + \sqrt{3 u^{2} + 8 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{4}{\sqrt{3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 1} + \sqrt{3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 8 + 1}} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) \left(\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)}{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right)^{2}}{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} - 3\right)\right) + \left(8 x + \left(x^{2} + 3\right)\right)}{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x}{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\frac{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)}}{x} + \frac{\sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{\frac{4 x + \left(x^{2} + 3\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4}{\sqrt{3 u^{2} + 4 u + 1} + \sqrt{3 u^{2} + 8 u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{4}{\sqrt{3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 1} + \sqrt{3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 8 + 1}} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 3\right)} + \sqrt{8 x + \left(x^{2} + 3\right)}\right) = -2$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico