Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{2 x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- 2 x} \left(x^{2} - 1\right)}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right) e^{- 2 x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)