Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((- seis + ocho *x)/(uno + ocho *x))^(x^ dos)
- (( menos 6 más 8 multiplicar por x) dividir por (1 más 8 multiplicar por x)) en el grado (x al cuadrado )
- (( menos seis más ocho multiplicar por x) dividir por (uno más ocho multiplicar por x)) en el grado (x en el grado dos)
- ((-6+8*x)/(1+8*x))(x2)
- -6+8*x/1+8*xx2
- ((-6+8*x)/(1+8*x))^(x²)
- ((-6+8*x)/(1+8*x)) en el grado (x en el grado 2)
- ((-6+8x)/(1+8x))^(x^2)
- ((-6+8x)/(1+8x))(x2)
- -6+8x/1+8xx2
- -6+8x/1+8x^x^2
- ((-6+8*x) dividir por (1+8*x))^(x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((6+8*x)/(1+8*x))^(x^2)
- ((-6-8*x)/(1+8*x))^(x^2)
- ((-6+8*x)/(1-8*x))^(x^2)
Límite de la función ((-6+8*x)/(1+8*x))^(x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
\x /
/-6 + 8*x\
lim |--------|
x->oo\1 + 8*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
Limit(((-6 + 8*x)/(1 + 8*x))^(x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(8 x + 1\right) - 7}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{7}{8 x + 1} + \frac{8 x + 1}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{8 x + 1}{-7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[64]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[64]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}{u}} = e^{\frac{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(8 x + 1\right) - 7}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{7}{8 x + 1} + \frac{8 x + 1}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{8 x + 1}{-7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{8 x + 1}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[64]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[64]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}{u}} = e^{\frac{\left(- \frac{7 u}{8} - \frac{1}{8}\right)^{2} - \frac{1}{64}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{8 x - 6}{8 x + 1}\right)^{x^{2}} = \infty$$
Más detalles con x→-oo