Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-3+sqrt(4+x))/(-2+sqrt(-1+x))
-
Límite de (-2+sqrt(x))/(-3+sqrt(1+2*x))
- Límite de (a^x-x^a)/(x-a)
-
Límite de (-asin(x)+2*x)/(2*x+atan(x))
-
Expresiones idénticas
- (- dos + tres ^x+ tres ^(-x))/x^ dos
- ( menos 2 más 3 en el grado x más 3 en el grado ( menos x)) dividir por x al cuadrado
- ( menos dos más tres en el grado x más tres en el grado ( menos x)) dividir por x en el grado dos
- (-2+3x+3(-x))/x2
- -2+3x+3-x/x2
- (-2+3^x+3^(-x))/x²
- (-2+3 en el grado x+3 en el grado (-x))/x en el grado 2
- -2+3^x+3^-x/x^2
- (-2+3^x+3^(-x)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (-2+3^x+3^(x))/x^2
- (2+3^x+3^(-x))/x^2
- (-2+3^x-3^(-x))/x^2
- (-2-3^x+3^(-x))/x^2
Límite de la función (-2+3^x+3^(-x))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -x\
|-2 + 3 + 3 |
lim |-------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right)$$
Limit((-2 + 3^x + 3^(-x))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{2 x} - 2 \cdot 3^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{x} x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- x} \left(3^{x} \left(3^{x} - 2\right) + 1\right)}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3^{2 x} - 2 \cdot 3^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 3^{x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 3^{2 x} \log{\left(3 \right)} - 2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{3^{x} x^{2} \log{\left(3 \right)} + 2 \cdot 3^{x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 3^{2 x} \log{\left(3 \right)} - 2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{3^{x} x^{2} \log{\left(3 \right)} + 2 \cdot 3^{x} x}\right)$$
=
$$\log{\left(3 \right)}^{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{2 x} - 2 \cdot 3^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3^{x} x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- x} \left(3^{x} \left(3^{x} - 2\right) + 1\right)}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3^{2 x} - 2 \cdot 3^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 3^{x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 3^{2 x} \log{\left(3 \right)} - 2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{3^{x} x^{2} \log{\left(3 \right)} + 2 \cdot 3^{x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot 3^{2 x} \log{\left(3 \right)} - 2 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{3^{x} x^{2} \log{\left(3 \right)} + 2 \cdot 3^{x} x}\right)$$
=
$$\log{\left(3 \right)}^{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \log{\left(3 \right)}^{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \log{\left(3 \right)}^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \log{\left(3 \right)}^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x -x\
|-2 + 3 + 3 |
lim |-------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right)$$
2 log (3)
$$\log{\left(3 \right)}^{2}$$
= 1.20694896081258
/ x -x\
|-2 + 3 + 3 |
lim |-------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(3^{x} - 2\right) + 3^{- x}}{x^{2}}\right)$$
2 log (3)
$$\log{\left(3 \right)}^{2}$$
= 1.20694896081258
= 1.20694896081258