Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-3+sqrt(4+x))/(-2+sqrt(-1+x))
-
Límite de (-2+sqrt(x))/(-3+sqrt(1+2*x))
- Límite de (a^x-x^a)/(x-a)
-
Límite de (-asin(x)+2*x)/(2*x+atan(x))
-
Expresiones idénticas
- (- uno + cuatro *n^ dos)/(uno +n+n^ dos)
- ( menos 1 más 4 multiplicar por n al cuadrado ) dividir por (1 más n más n al cuadrado )
- ( menos uno más cuatro multiplicar por n en el grado dos) dividir por (uno más n más n en el grado dos)
- (-1+4*n2)/(1+n+n2)
- -1+4*n2/1+n+n2
- (-1+4*n²)/(1+n+n²)
- (-1+4*n en el grado 2)/(1+n+n en el grado 2)
- (-1+4n^2)/(1+n+n^2)
- (-1+4n2)/(1+n+n2)
- -1+4n2/1+n+n2
- -1+4n^2/1+n+n^2
- (-1+4*n^2) dividir por (1+n+n^2)
-
Expresiones semejantes
- (1+4*n^2)/(1+n+n^2)
- (-1+4*n^2)/(1+n-n^2)
- (-1+4*n^2)/(1-n+n^2)
- (-1-4*n^2)/(1+n+n^2)
Límite de la función (-1+4*n^2)/(1+n+n^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|-1 + 4*n |
lim |----------|
n->oo| 2|
\1 + n + n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
Limit((-1 + 4*n^2)/(1 + n + n^2), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 - u^{2}}{u^{2} + u + 1}\right)$$
=
$$\frac{4 - 0^{2}}{0^{2} + 1} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 - \frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 - u^{2}}{u^{2} + u + 1}\right)$$
=
$$\frac{4 - 0^{2}}{0^{2} + 1} = 4$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 4$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(4 n^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + n + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(4 n^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8 n}{2 n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 8 n}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 4$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(4 n^{2} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + n + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(4 n^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{8 n}{2 n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 8 n}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 4$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 4$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 4$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 4$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{4 n^{2} - 1}{n^{2} + \left(n + 1\right)}\right) = 4$$
Más detalles con n→-oo