Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de ((3+7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + seis *x)/(- uno + seis *x))^(- uno +x)
- ((1 más 6 multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más 6 multiplicar por x)) en el grado ( menos 1 más x)
- ((uno más seis multiplicar por x) dividir por ( menos uno más seis multiplicar por x)) en el grado ( menos uno más x)
- ((1+6*x)/(-1+6*x))(-1+x)
- 1+6*x/-1+6*x-1+x
- ((1+6x)/(-1+6x))^(-1+x)
- ((1+6x)/(-1+6x))(-1+x)
- 1+6x/-1+6x-1+x
- 1+6x/-1+6x^-1+x
- ((1+6*x) dividir por (-1+6*x))^(-1+x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+6*x)/(-1-6*x))^(-1+x)
- ((1-6*x)/(-1+6*x))^(-1+x)
- ((1+6*x)/(-1+6*x))^(1+x)
- ((1+6*x)/(-1+6*x))^(-1-x)
- ((1+6*x)/(1+6*x))^(-1+x)
Límite de la función ((1+6*x)/(-1+6*x))^(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + x
/1 + 6*x \
lim |--------|
x->oo\-1 + 6*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
Limit(((1 + 6*x)/(-1 + 6*x))^(-1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(6 x - 1\right) + 2}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 1}{6 x - 1} + \frac{2}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{6 x - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3} - \frac{5}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = e^{\frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(6 x - 1\right) + 2}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 1}{6 x - 1} + \frac{2}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{6 x - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{6 x - 1}\right)^{x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3} - \frac{5}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{6}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = e^{\frac{1}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = e^{\frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = e^{\frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x - 1}\right)^{x - 1} = e^{\frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo