Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de (-1+a^x)/x
-
Límite de ((-4+3*x)/(2+3*x))^(1/3+x/3)
-
Límite de (4-9*x+2*x^2)/(sqrt(5-x)-sqrt(-3+x))
-
Límite de (10-9*x+2*x^2)/(-10+x^2+3*x)
-
Expresiones idénticas
- (dos *x+ dos *x^ cuatro)/(cinco +x^ cuatro + cuatro *x)
- (2 multiplicar por x más 2 multiplicar por x en el grado 4) dividir por (5 más x en el grado 4 más 4 multiplicar por x)
- (dos multiplicar por x más dos multiplicar por x en el grado cuatro) dividir por (cinco más x en el grado cuatro más cuatro multiplicar por x)
- (2*x+2*x4)/(5+x4+4*x)
- 2*x+2*x4/5+x4+4*x
- (2*x+2*x⁴)/(5+x⁴+4*x)
- (2x+2x^4)/(5+x^4+4x)
- (2x+2x4)/(5+x4+4x)
- 2x+2x4/5+x4+4x
- 2x+2x^4/5+x^4+4x
- (2*x+2*x^4) dividir por (5+x^4+4*x)
-
Expresiones semejantes
- (2*x-2*x^4)/(5+x^4+4*x)
- (2*x+2*x^4)/(5-x^4+4*x)
- (2*x+2*x^4)/(5+x^4-4*x)
Límite de la función (2*x+2*x^4)/(5+x^4+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 \
| 2*x + 2*x |
lim |------------|
x->oo| 4 |
\5 + x + 4*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
Limit((2*x + 2*x^4)/(5 + x^4 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x^{3}}}{1 + \frac{4}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x^{3}}}{1 + \frac{4}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{3} + 2}{5 u^{4} + 4 u^{3} + 1}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{3} + 2}{4 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{4} + 1} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x^{3}}}{1 + \frac{4}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{2}{x^{3}}}{1 + \frac{4}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{3} + 2}{5 u^{4} + 4 u^{3} + 1}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{3} + 2}{4 \cdot 0^{3} + 5 \cdot 0^{4} + 1} = 2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \left(x^{3} + 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 4 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 4 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x \left(x^{3} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 4 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{3} + 2}{4 x^{3} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{3} + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \left(x^{3} + 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 4 x + 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(x^{3} + 1\right)}{x^{4} + 4 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x \left(x^{3} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 4 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x^{3} + 2}{4 x^{3} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(8 x^{3} + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{4} + 2 x}{4 x + \left(x^{4} + 5\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo