Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de (-1+a^x)/x
-
Límite de ((-4+3*x)/(2+3*x))^(1/3+x/3)
-
Límite de (4-9*x+2*x^2)/(sqrt(5-x)-sqrt(-3+x))
-
Límite de (10-9*x+2*x^2)/(-10+x^2+3*x)
- Gráfico de la función y =:
- ((-4+3*x)/(2+3*x))^(1/3+x/3)
-
Expresiones idénticas
- ((- cuatro + tres *x)/(dos + tres *x))^(uno / tres +x/ tres)
- (( menos 4 más 3 multiplicar por x) dividir por (2 más 3 multiplicar por x)) en el grado (1 dividir por 3 más x dividir por 3)
- (( menos cuatro más tres multiplicar por x) dividir por (dos más tres multiplicar por x)) en el grado (uno dividir por tres más x dividir por tres)
- ((-4+3*x)/(2+3*x))(1/3+x/3)
- -4+3*x/2+3*x1/3+x/3
- ((-4+3x)/(2+3x))^(1/3+x/3)
- ((-4+3x)/(2+3x))(1/3+x/3)
- -4+3x/2+3x1/3+x/3
- -4+3x/2+3x^1/3+x/3
- ((-4+3*x) dividir por (2+3*x))^(1 dividir por 3+x dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- ((-4-3*x)/(2+3*x))^(1/3+x/3)
- ((4+3*x)/(2+3*x))^(1/3+x/3)
- ((-4+3*x)/(2-3*x))^(1/3+x/3)
- ((-4+3*x)/(2+3*x))^(1/3-x/3)
Límite de la función ((-4+3*x)/(2+3*x))^(1/3+x/3)
Solución
Ha introducido
[src]
1 x
- + -
3 3
/-4 + 3*x\
lim |--------|
x->oo\2 + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
Limit(((-4 + 3*x)/(2 + 3*x))^(1/3 + x/3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 2\right) - 6}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{3 x + 2} + \frac{3 x + 2}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 2}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{9} - \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[9]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[9]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 2\right) - 6}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{3 x + 2} + \frac{3 x + 2}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 2}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{9} - \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[9]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[9]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{10} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{10}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{10} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{10}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{10} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{10}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{10} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{10}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico