Sr Examen

Otras calculadoras:

x*sin(5*x)/atan(3*x)^2
Límite de la función/ tan(3*x)/ sin(5*x)/ x*sin(5*x)/atan(3*x)^2

Límite de la función x*sin(5*x)/atan(3*x)^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /x*sin(5*x)\
 lim |----------|
x->0+|    2     |
     \atan (3*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$ 
Limit((x*sin(5*x))/atan(3*x)^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sin{\left(5 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(9 x^{2} + 1\right) \left(5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}\right)}{6 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{6 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{6 \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{5}{9}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /x*sin(5*x)\
 lim |----------|
x->0+|    2     |
     \atan (3*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$ 
5/9
$$\frac{5}{9}$$ 
= 0.555555555555556
     /x*sin(5*x)\
 lim |----------|
x->0-|    2     |
     \atan (3*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$ 
5/9
$$\frac{5}{9}$$ 
= 0.555555555555556
= 0.555555555555556
Respuesta rápida [src] 
5/9
$$\frac{5}{9}$$
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{5}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{5}{9}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\left\langle -\infty, \infty\right\rangle}{\pi^{2}}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(5 \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(3 x \right)}}\right) = \frac{\left\langle -\infty, \infty\right\rangle}{\pi^{2}}$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
0.555555555555556
0.555555555555556
Gráfico
Límite de la función x*sin(5*x)/atan(3*x)^2
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