Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- x^(e^x)/(- uno +e^x)
- x en el grado (e en el grado x) dividir por ( menos 1 más e en el grado x)
- x en el grado (e en el grado x) dividir por ( menos uno más e en el grado x)
- x(ex)/(-1+ex)
- xex/-1+ex
- x^e^x/-1+e^x
- x^(e^x) dividir por (-1+e^x)
-
Expresiones semejantes
- x^(e^x)/(-1-e^x)
- x^(e^x)/(1+e^x)
Límite de la función x^(e^x)/(-1+e^x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x\ \
| \E / |
| x |
lim |-------|
x->0+| x|
\-1 + E /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
Limit(x^(E^x)/(-1 + E^x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{e^{x}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{e^{x}}}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{e^{x}} \left(e^{x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{e^{x}} e^{- x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{e^{x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}} \log{\left(x \right)} - x^{e^{x}} e^{- x} + \frac{x^{e^{x}}}{x}}{\frac{e^{x}}{x^{2} e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x e^{2 x} \log{\left(x \right)} + e^{2 x}} - \frac{2 e^{x}}{x e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 e^{2 x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{2 x}}{x}} - \frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + \frac{2 e^{2 x} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{e^{2 x}}{x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}} \log{\left(x \right)} - x^{e^{x}} e^{- x} + \frac{x^{e^{x}}}{x}}{\frac{e^{x}}{x^{2} e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x e^{2 x} \log{\left(x \right)} + e^{2 x}} - \frac{2 e^{x}}{x e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 e^{2 x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{2 x}}{x}} - \frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + \frac{2 e^{2 x} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{e^{2 x}}{x^{2}}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{e^{x}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{e^{x}}}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{e^{x}} \left(e^{x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{e^{x}} e^{- x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{e^{x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{x}}{x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}} \log{\left(x \right)} - x^{e^{x}} e^{- x} + \frac{x^{e^{x}}}{x}}{\frac{e^{x}}{x^{2} e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x e^{2 x} \log{\left(x \right)} + e^{2 x}} - \frac{2 e^{x}}{x e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 e^{2 x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{2 x}}{x}} - \frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + \frac{2 e^{2 x} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{e^{2 x}}{x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}} \log{\left(x \right)} - x^{e^{x}} e^{- x} + \frac{x^{e^{x}}}{x}}{\frac{e^{x}}{x^{2} e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x e^{2 x} \log{\left(x \right)} + e^{2 x}} - \frac{2 e^{x}}{x e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 e^{2 x} \log{\left(x \right)} + \frac{e^{2 x}}{x}} - \frac{e^{x} \log{\left(x \right)}}{e^{2 x} \log{\left(x \right)}^{2} + \frac{2 e^{2 x} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{e^{2 x}}{x^{2}}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / x\ \
| \E / |
| x |
lim |-------|
x->0+| x|
\-1 + E /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
1
$$1$$
= 0.997914009121177
/ / x\ \
| \E / |
| x |
lim |-------|
x->0-| x|
\-1 + E /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right)$$
1
$$1$$
= (1.00206584305067 - 0.000855256794003295j)
= (1.00206584305067 - 0.000855256794003295j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{e^{x}}}{e^{x} - 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo