Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((tres + cuatro *x)/(diez + cuatro *x))^(cuatro + tres *x)
- ((3 más 4 multiplicar por x) dividir por (10 más 4 multiplicar por x)) en el grado (4 más 3 multiplicar por x)
- ((tres más cuatro multiplicar por x) dividir por (diez más cuatro multiplicar por x)) en el grado (cuatro más tres multiplicar por x)
- ((3+4*x)/(10+4*x))(4+3*x)
- 3+4*x/10+4*x4+3*x
- ((3+4x)/(10+4x))^(4+3x)
- ((3+4x)/(10+4x))(4+3x)
- 3+4x/10+4x4+3x
- 3+4x/10+4x^4+3x
- ((3+4*x) dividir por (10+4*x))^(4+3*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3-4*x)/(10+4*x))^(4+3*x)
- ((3+4*x)/(10+4*x))^(4-3*x)
- ((3+4*x)/(10-4*x))^(4+3*x)
Límite de la función ((3+4*x)/(10+4*x))^(4+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
4 + 3*x
/3 + 4*x \
lim |--------|
x->oo\10 + 4*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
Limit(((3 + 4*x)/(10 + 4*x))^(4 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x + 10\right) - 7}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{7}{4 x + 10} + \frac{4 x + 10}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x + 10}{-7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{4} - \frac{7}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{4}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{4}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{21}{4}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{21}{4}} = e^{- \frac{21}{4}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = e^{- \frac{21}{4}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x + 10\right) - 7}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{7}{4 x + 10} + \frac{4 x + 10}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x + 10}{-7}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{4} - \frac{7}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{4}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{21 u}{4}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{21}{4}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{21}{4}} = e^{- \frac{21}{4}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = e^{- \frac{21}{4}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = e^{- \frac{21}{4}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = \frac{81}{10000}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = \frac{81}{10000}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = \frac{1}{128}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = \frac{1}{128}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = e^{- \frac{21}{4}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = \frac{81}{10000}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = \frac{81}{10000}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = \frac{1}{128}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = \frac{1}{128}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x + 10}\right)^{3 x + 4} = e^{- \frac{21}{4}}$$
Más detalles con x→-oo