Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(e^{x} + 2\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} x + 2 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(e^{x} + 2\right)}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(e^{x} + 2\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x e^{x} + e^{x} + 2}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x e^{x} + e^{x} + 2}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)