Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
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Límite de (1+11/x)^x
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Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
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Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Expresiones idénticas
- atan(cinco *a)/(tres *a)
- arco tangente de gente de (5 multiplicar por a) dividir por (3 multiplicar por a)
- arco tangente de gente de (cinco multiplicar por a) dividir por (tres multiplicar por a)
- atan(5a)/(3a)
- atan5a/3a
- atan(5*a) dividir por (3*a)
-
Expresiones semejantes
- arctan(5*a)/(3*a)
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(4*x)/x+(-1+x)/(-125+x^3)
- atan(sqrt(x))/sqrt(x)
- atan(sqrt((1+x)/(1+2*x)))
- atan(5*x)^2*(-1+e^(2*x^3))/log(1+3*x^5)
- atan(x)^2/(1-cos(x))
Límite de la función atan(5*a)/(3*a)
Solución
Ha introducido
[src]
/atan(5*a)\ lim |---------| a->0+\ 3*a /
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right)$$
Limit(atan(5*a)/((3*a)), a, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{atan}{\left(5 a \right)}$$
$$a = \frac{\tan{\left(u \right)}}{5}$$
obtendremos
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \tan{\left(u \right)}}{5} \right)}}{\frac{1}{5} \tan{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{3} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}}{3}$$
cambiamos
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{atan}{\left(5 a \right)}$$
$$a = \frac{\tan{\left(u \right)}}{5}$$
obtendremos
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \tan{\left(u \right)}}{5} \right)}}{\frac{1}{5} \tan{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{3} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u}{\tan{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}}{3}$$
/tan(u)\
= 5/3 / ( lim |------| )
u->0+\ u / cambiamos
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{5}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{a \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(5 a \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{a \to 0^+}\left(3 a\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right)$$
=
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d a} \operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{\frac{d}{d a} 3 a}\right)$$
=
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{5}{3 \left(25 a^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{a \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\lim_{a \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{a \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(5 a \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{a \to 0^+}\left(3 a\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right)$$
=
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d a} \operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{\frac{d}{d a} 3 a}\right)$$
=
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{5}{3 \left(25 a^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{a \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\lim_{a \to 0^+} \frac{5}{3}$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con a→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{a \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con a→0 a la izquierda
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\lim_{a \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = 0$$
Más detalles con a→oo
$$\lim_{a \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{3}$$
Más detalles con a→1 a la izquierda
$$\lim_{a \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{3}$$
Más detalles con a→1 a la derecha
$$\lim_{a \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = 0$$
Más detalles con a→-oo
Más detalles con a→0 a la izquierda
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\lim_{a \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = 0$$
Más detalles con a→oo
$$\lim_{a \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{3}$$
Más detalles con a→1 a la izquierda
$$\lim_{a \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{3}$$
Más detalles con a→1 a la derecha
$$\lim_{a \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right) = 0$$
Más detalles con a→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/atan(5*a)\ lim |---------| a->0+\ 3*a /
$$\lim_{a \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right)$$
5/3
$$\frac{5}{3}$$
= 1.66666666666667
/atan(5*a)\ lim |---------| a->0-\ 3*a /
$$\lim_{a \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(5 a \right)}}{3 a}\right)$$
5/3
$$\frac{5}{3}$$
= 1.66666666666667
= 1.66666666666667