Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- n^ cinco /(uno +n)^ cinco
- n en el grado 5 dividir por (1 más n) en el grado 5
- n en el grado cinco dividir por (uno más n) en el grado cinco
- n5/(1+n)5
- n5/1+n5
- n⁵/(1+n)⁵
- n^5/1+n^5
- n^5 dividir por (1+n)^5
-
Expresiones semejantes
- n^5/(1-n)^5
Límite de la función n^5/(1+n)^5
Solución
Ha introducido
[src]
/ 5 \
| n |
lim |--------|
n->oo| 5|
\(1 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
Limit(n^5/(1 + n)^5, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^5:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{5} + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^5:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{5}{n^{4}} + \frac{1}{n^{5}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{5} + 0 \cdot 5 + 5 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{5} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{5}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{4}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{3}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{2}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2 n}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{5} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{5}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{4}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{3}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{2}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2 n}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \frac{1}{32}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \frac{1}{32}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \frac{1}{32}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \frac{1}{32}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n^{5}}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico