Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- dos *x^ tres /(dos +x)^ cinco
- 2 multiplicar por x al cubo dividir por (2 más x) en el grado 5
- dos multiplicar por x en el grado tres dividir por (dos más x) en el grado cinco
- 2*x3/(2+x)5
- 2*x3/2+x5
- 2*x³/(2+x)⁵
- 2*x en el grado 3/(2+x) en el grado 5
- 2x^3/(2+x)^5
- 2x3/(2+x)5
- 2x3/2+x5
- 2x^3/2+x^5
- 2*x^3 dividir por (2+x)^5
-
Expresiones semejantes
- 2*x^3/(2-x)^5
Límite de la función 2*x^3/(2+x)^5
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \
| 2*x |
lim |--------|
x->oo| 5|
\(2 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right)$$
Limit((2*x^3)/(2 + x)^5, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^5:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{10}{x} + \frac{40}{x^{2}} + \frac{80}{x^{3}} + \frac{80}{x^{4}} + \frac{32}{x^{5}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{10}{x} + \frac{40}{x^{2}} + \frac{80}{x^{3}} + \frac{80}{x^{4}} + \frac{32}{x^{5}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{2}}{32 u^{5} + 80 u^{4} + 80 u^{3} + 40 u^{2} + 10 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{2}}{0 \cdot 10 + 32 \cdot 0^{5} + 40 \cdot 0^{2} + 80 \cdot 0^{3} + 80 \cdot 0^{4} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^5:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{10}{x} + \frac{40}{x^{2}} + \frac{80}{x^{3}} + \frac{80}{x^{4}} + \frac{32}{x^{5}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{10}{x} + \frac{40}{x^{2}} + \frac{80}{x^{3}} + \frac{80}{x^{4}} + \frac{32}{x^{5}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{2}}{32 u^{5} + 80 u^{4} + 80 u^{3} + 40 u^{2} + 10 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{2 \cdot 0^{2}}{0 \cdot 10 + 32 \cdot 0^{5} + 40 \cdot 0^{2} + 80 \cdot 0^{3} + 80 \cdot 0^{4} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 2\right)^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{2}}{5 \left(x + 2\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{6 x^{2}}{5}}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x}{5 \left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{3 x}{5}}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{5 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{5 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 2\right)^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{2}}{5 \left(x + 2\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{6 x^{2}}{5}}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x}{5 \left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{3 x}{5}}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{5 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{5 \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = \frac{2}{243}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = \frac{2}{243}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = \frac{2}{243}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = \frac{2}{243}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo