Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+x)^3+(2+x)^3)/((4+x)^3+(5+x)^3)
-
Límite de (sqrt(1-x)-sqrt(1+x))^2/x^2
-
Límite de (-log(1+x)+log(-1+x^2))/(-1+(-1+x)^(1/3))
-
Límite de -1+cos(x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x^ tres)/(- uno +x^ tres))^(-x^ tres + dos *x)
- ((1 más x al cubo ) dividir por ( menos 1 más x al cubo )) en el grado ( menos x al cubo más 2 multiplicar por x)
- ((uno más x en el grado tres) dividir por ( menos uno más x en el grado tres)) en el grado ( menos x en el grado tres más dos multiplicar por x)
- ((1+x3)/(-1+x3))(-x3+2*x)
- 1+x3/-1+x3-x3+2*x
- ((1+x³)/(-1+x³))^(-x³+2*x)
- ((1+x en el grado 3)/(-1+x en el grado 3)) en el grado (-x en el grado 3+2*x)
- ((1+x^3)/(-1+x^3))^(-x^3+2x)
- ((1+x3)/(-1+x3))(-x3+2x)
- 1+x3/-1+x3-x3+2x
- 1+x^3/-1+x^3^-x^3+2x
- ((1+x^3) dividir por (-1+x^3))^(-x^3+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+x^3)/(-1-x^3))^(-x^3+2*x)
- ((1-x^3)/(-1+x^3))^(-x^3+2*x)
- ((1+x^3)/(1+x^3))^(-x^3+2*x)
- ((1+x^3)/(-1+x^3))^(x^3+2*x)
- ((1+x^3)/(-1+x^3))^(-x^3-2*x)
Límite de la función ((1+x^3)/(-1+x^3))^(-x^3+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3
- x + 2*x
/ 3\
| 1 + x |
lim |-------|
x->oo| 3|
\-1 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
Limit(((1 + x^3)/(-1 + x^3))^(-x^3 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{3} - 1\right) + 2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{3} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}} = e^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{3} - 1\right) + 2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{3} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}} = e^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} + 2 x} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico