Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{3} - 1\right) + 2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{3} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}} = e^{\frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo