Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-sin(x))/cos(x)^2
-
Límite de (1+sin(sqrt(x))^2)^(1/(2*x))
-
Límite de (1-cos(x)^3)*sin(2*x)/x
-
Límite de (cos(x)^(-2)-2*tan(x))/(1+cos(4*x))
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x^ tres)/(- uno +x^ tres))^(-x^ tres - dos *x)
- ((1 más x al cubo ) dividir por ( menos 1 más x al cubo )) en el grado ( menos x al cubo menos 2 multiplicar por x)
- ((uno más x en el grado tres) dividir por ( menos uno más x en el grado tres)) en el grado ( menos x en el grado tres menos dos multiplicar por x)
- ((1+x3)/(-1+x3))(-x3-2*x)
- 1+x3/-1+x3-x3-2*x
- ((1+x³)/(-1+x³))^(-x³-2*x)
- ((1+x en el grado 3)/(-1+x en el grado 3)) en el grado (-x en el grado 3-2*x)
- ((1+x^3)/(-1+x^3))^(-x^3-2x)
- ((1+x3)/(-1+x3))(-x3-2x)
- 1+x3/-1+x3-x3-2x
- 1+x^3/-1+x^3^-x^3-2x
- ((1+x^3) dividir por (-1+x^3))^(-x^3-2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1-x^3)/(-1+x^3))^(-x^3-2*x)
- ((1+x^3)/(-1-x^3))^(-x^3-2*x)
- ((1+x^3)/(-1+x^3))^(x^3-2*x)
- ((1+x^3)/(-1+x^3))^(-x^3+2*x)
- ((1+x^3)/(1+x^3))^(-x^3-2*x)
Límite de la función ((1+x^3)/(-1+x^3))^(-x^3-2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3
- x - 2*x
/ 3\
| 1 + x |
lim |-------|
x->oo| 3|
\-1 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
Limit(((1 + x^3)/(-1 + x^3))^(-x^3 - 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{3} - 1\right) + 2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{3} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}} = e^{\frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{3} - 1\right) + 2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} - 1}{x^{3} - 1} + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{3} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}} = e^{\frac{- 2 u - 2 \sqrt[3]{2 u + 1} + 2}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}\right)^{- x^{3} - 2 x} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica