Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- n^ cuatro /(uno +n)^ cuatro
- n en el grado 4 dividir por (1 más n) en el grado 4
- n en el grado cuatro dividir por (uno más n) en el grado cuatro
- n4/(1+n)4
- n4/1+n4
- n⁴/(1+n)⁴
- n^4/1+n^4
- n^4 dividir por (1+n)^4
-
Expresiones semejantes
- n^4/(1-n)^4
Límite de la función n^4/(1+n)^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 \
| n |
lim |--------|
n->oo| 4|
\(1 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
Limit(n^4/(1 + n)^4, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^4:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{4}{n} + \frac{6}{n^{2}} + \frac{4}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{4}{n} + \frac{6}{n^{2}} + \frac{4}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{4} + 4 u^{3} + 6 u^{2} + 4 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{4} + 0 \cdot 4 + 4 \cdot 0^{3} + 6 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^4:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{4}{n} + \frac{6}{n^{2}} + \frac{4}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{4}{n} + \frac{6}{n^{2}} + \frac{4}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{4} + 4 u^{3} + 6 u^{2} + 4 u + 1}$$
=
$$\frac{1}{0^{4} + 0 \cdot 4 + 4 \cdot 0^{3} + 6 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{4} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{4} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{4}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{3}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{2}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2 n}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{4} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{4} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{4}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{3}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{2}}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2 n}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = \frac{1}{16}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = \frac{1}{16}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = \frac{1}{16}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = \frac{1}{16}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n^{4}}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico