Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+(1+x)^5-5*x)/(x^2+x^5)
-
Límite de (1-sqrt(cos(x)))/(x*sin(x))
-
Límite de (1-1/n)^n
-
Límite de (x-2*x^2+5*x^4)/(2+x^4+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *y^ dos /((x-y)^ dos +x^ dos *y^ dos)
- x al cuadrado multiplicar por y al cuadrado dividir por ((x menos y) al cuadrado más x al cuadrado multiplicar por y al cuadrado )
- x en el grado dos multiplicar por y en el grado dos dividir por ((x menos y) en el grado dos más x en el grado dos multiplicar por y en el grado dos)
- x2*y2/((x-y)2+x2*y2)
- x2*y2/x-y2+x2*y2
- x²*y²/((x-y)²+x²*y²)
- x en el grado 2*y en el grado 2/((x-y) en el grado 2+x en el grado 2*y en el grado 2)
- x^2y^2/((x-y)^2+x^2y^2)
- x2y2/((x-y)2+x2y2)
- x2y2/x-y2+x2y2
- x^2y^2/x-y^2+x^2y^2
- x^2*y^2 dividir por ((x-y)^2+x^2*y^2)
-
Expresiones semejantes
- x^2*y^2/((x-y)^2-x^2*y^2)
- x^2*y^2/((x+y)^2+x^2*y^2)
Límite de la función x^2*y^2/((x-y)^2+x^2*y^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 2 \
| x *y |
lim |----------------|
x->oo| 2 2 2|
\(x - y) + x *y /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$
Limit((x^2*y^2)/((x - y)^2 + x^2*y^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{y^{2}}{y^{2} + 1 - \frac{2 y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{y^{2}}{y^{2} + 1 - \frac{2 y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{y^{2}}{u^{2} y^{2} - 2 u y + y^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{y^{2}}{0^{2} y^{2} + y^{2} - 0 y + 1} = \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{y^{2}}{y^{2} + 1 - \frac{2 y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{y^{2}}{y^{2} + 1 - \frac{2 y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{y^{2}}{u^{2} y^{2} - 2 u y + y^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{y^{2}}{0^{2} y^{2} + y^{2} - 0 y + 1} = \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} y^{2} + x^{2} - 2 x y + y^{2}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2} y^{2}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$
=
$$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 0 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} y^{2} + x^{2} - 2 x y + y^{2}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2} y^{2}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right)$$
=
$$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 0 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = \frac{y^{2}}{2 y^{2} - 2 y + 1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = \frac{y^{2}}{2 y^{2} - 2 y + 1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = \frac{y^{2}}{2 y^{2} - 2 y + 1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = \frac{y^{2}}{2 y^{2} - 2 y + 1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + \left(x - y\right)^{2}}\right) = \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}$$
Más detalles con x→-oo