Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x^{3}}{3} - \frac{64}{3}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(- x^{2} + 2 x + 8\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x^{3} - 64}{6 x + \left(24 - 3 x^{2}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x^{3} - 64}{3 \left(- x^{2} + 2 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{3}}{3} - \frac{64}{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 2 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x^{2}}{2 - 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x^{2}}{2 - 2 x}\right)$$
=
$$- \frac{8}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)