Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (- ocho +x^ tres)/(ocho +x^ tres - ocho *x)
- ( menos 8 más x al cubo ) dividir por (8 más x al cubo menos 8 multiplicar por x)
- ( menos ocho más x en el grado tres) dividir por (ocho más x en el grado tres menos ocho multiplicar por x)
- (-8+x3)/(8+x3-8*x)
- -8+x3/8+x3-8*x
- (-8+x³)/(8+x³-8*x)
- (-8+x en el grado 3)/(8+x en el grado 3-8*x)
- (-8+x^3)/(8+x^3-8x)
- (-8+x3)/(8+x3-8x)
- -8+x3/8+x3-8x
- -8+x^3/8+x^3-8x
- (-8+x^3) dividir por (8+x^3-8*x)
-
Expresiones semejantes
- (-8+x^3)/(8-x^3-8*x)
- (8+x^3)/(8+x^3-8*x)
- (-8-x^3)/(8+x^3-8*x)
- (-8+x^3)/(8+x^3+8*x)
Límite de la función (-8+x^3)/(8+x^3-8*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \
| -8 + x |
lim |------------|
x->oo| 3 |
\8 + x - 8*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right)$$
Limit((-8 + x^3)/(8 + x^3 - 8*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{8}{x^{3}}}{1 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{8}{x^{3}}}{1 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - 8 u^{3}}{8 u^{3} - 8 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 8 \cdot 0^{3}}{- 8 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{8}{x^{3}}}{1 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{8}{x^{3}}}{1 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - 8 u^{3}}{8 u^{3} - 8 u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{1 - 8 \cdot 0^{3}}{- 8 \cdot 0^{2} + 8 \cdot 0^{3} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 8 x + 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x^{3} - 8 x + 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 8 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{3 x^{2} - 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 8 x + 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{x^{3} - 8 x + 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 8 x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{3 x^{2} - 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = -7$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = -7$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = -7$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = -7$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 8}{- 8 x + \left(x^{3} + 8\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico