Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 6 x + 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{8}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 8 \left(x + 3\right)^{2}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{8 \left(x + 3\right)^{2}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 6 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x}{8}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 16 x - 48\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 16 x - 48\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)