Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de (-1+4*x+5*x^2)/(-2+x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((- tres +x)/(- uno +x))^(x/ dos)
- (( menos 3 más x) dividir por ( menos 1 más x)) en el grado (x dividir por 2)
- (( menos tres más x) dividir por ( menos uno más x)) en el grado (x dividir por dos)
- ((-3+x)/(-1+x))(x/2)
- -3+x/-1+xx/2
- -3+x/-1+x^x/2
- ((-3+x) dividir por (-1+x))^(x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- ((-3+x)/(1+x))^(x/2)
- ((-3-x)/(-1+x))^(x/2)
- ((-3+x)/(-1-x))^(x/2)
- ((3+x)/(-1+x))^(x/2)
Límite de la función ((-3+x)/(-1+x))^(x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
2
/-3 + x\
lim |------|
x->oo\-1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
Limit(((-3 + x)/(-1 + x))^(x/2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) - 2}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{2} - u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) - 2}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{2} - u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = \infty i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = \infty i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo