Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((- cuatro +x)/(dos +x))^(uno / dos +x/ dos)
- (( menos 4 más x) dividir por (2 más x)) en el grado (1 dividir por 2 más x dividir por 2)
- (( menos cuatro más x) dividir por (dos más x)) en el grado (uno dividir por dos más x dividir por dos)
- ((-4+x)/(2+x))(1/2+x/2)
- -4+x/2+x1/2+x/2
- -4+x/2+x^1/2+x/2
- ((-4+x) dividir por (2+x))^(1 dividir por 2+x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- ((4+x)/(2+x))^(1/2+x/2)
- ((-4+x)/(2-x))^(1/2+x/2)
- ((-4-x)/(2+x))^(1/2+x/2)
- ((-4+x)/(2+x))^(1/2-x/2)
Límite de la función ((-4+x)/(2+x))^(1/2+x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
1 x
- + -
2 2
/-4 + x\
lim |------|
x->oo\2 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
Limit(((-4 + x)/(2 + x))^(1/2 + x/2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 6}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 6}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{-3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = -1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = -1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{-3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = -1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = -1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 4}{x + 2}\right)^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = e^{-3}$$
Más detalles con x→-oo