Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 8}{x - 2}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 8}{x - 2}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 2\right) + 10}{x - 2}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{10}{x - 2}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x - 2}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 2}{10}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x - 2}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10} = e^{10}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 8}{x - 2}\right)^{x} = e^{10}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
A la izquierda y a la derecha
[src]
x
/8 + x \
lim |------|
x->0+\-2 + x/
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 8}{x - 2}\right)^{x}$$
$$1$$
= (1.0 + 2.25365765752159e-23j)
x
/8 + x \
lim |------|
x->0-\-2 + x/
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 8}{x - 2}\right)^{x}$$
$$1$$
= (1.0 + 4.01128208019181e-27j)
= (1.0 + 4.01128208019181e-27j)