Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5-14*x+3*x^2)/(-15+x^2-2*x)
-
Límite de (-40-2*x+3*x^2)/(-4+x^2-3*x)
-
Límite de (-1+x-2*x^2+2*x^3)/(-3+x^3-x^2+3*x)
-
Límite de (1-cos(x^2))/(x^2-sin(x^2))
- Gráfico de la función y =:
- (1-cos(x^2))/(x^2-sin(x^2))
-
Expresiones idénticas
- (uno -cos(x^ dos))/(x^ dos -sin(x^ dos))
- (1 menos coseno de (x al cuadrado )) dividir por (x al cuadrado menos seno de (x al cuadrado ))
- (uno menos coseno de (x en el grado dos)) dividir por (x en el grado dos menos seno de (x en el grado dos))
- (1-cos(x2))/(x2-sin(x2))
- 1-cosx2/x2-sinx2
- (1-cos(x²))/(x²-sin(x²))
- (1-cos(x en el grado 2))/(x en el grado 2-sin(x en el grado 2))
- 1-cosx^2/x^2-sinx^2
- (1-cos(x^2)) dividir por (x^2-sin(x^2))
-
Expresiones semejantes
- (1+cos(x^2))/(x^2-sin(x^2))
- (1-cos(x^2))/(x^2+sin(x^2))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2*x)*log(e)/x^2
- cos(x)/tan(x)
- cos(2*x)^(-1/(4*x^2))
- cos(log(-3+x))/log(e^x-e^3)
- cos((-1+pi*x)/(2*x))
- Seno sin
- sin(x)^(2/(3+log(x)))
- sin(8*x)/tan(4*x)
- sin(8*x)/cos(7*x)
- sin(2/x)
- sin(2*x)^tan(x)
Límite de la función (1-cos(x^2))/(x^2-sin(x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 2\ \
|1 - cos\x / |
lim |------------|
x->0+| 2 / 2\|
\x - sin\x //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
Limit((1 - cos(x^2))/(x^2 - sin(x^2)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x^{2} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \sin{\left(x^{2} \right)}}{- 2 x \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 \sin{\left(x^{2} \right)}}{4 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} - 2 \cos{\left(x^{2} \right)} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 \sin{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} - 2 \cos{\left(x^{2} \right)} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 8 x^{3} \sin{\left(x^{2} \right)} + 12 x \cos{\left(x^{2} \right)}}{8 x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)} + 12 x \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 8 x^{3} \sin{\left(x^{2} \right)} + 12 x \cos{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(8 x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)} + 12 x \sin{\left(x^{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 16 x^{4} \cos{\left(x^{2} \right)} - 48 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 12 \cos{\left(x^{2} \right)}}{- 16 x^{4} \sin{\left(x^{2} \right)} + 48 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} + 12 \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 16 x^{4} \cos{\left(x^{2} \right)} - 48 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 12 \cos{\left(x^{2} \right)}}{- 16 x^{4} \sin{\left(x^{2} \right)} + 48 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} + 12 \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x^{2} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \sin{\left(x^{2} \right)}}{- 2 x \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 \sin{\left(x^{2} \right)}}{4 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} - 2 \cos{\left(x^{2} \right)} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 \sin{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} - 2 \cos{\left(x^{2} \right)} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 8 x^{3} \sin{\left(x^{2} \right)} + 12 x \cos{\left(x^{2} \right)}}{8 x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)} + 12 x \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 8 x^{3} \sin{\left(x^{2} \right)} + 12 x \cos{\left(x^{2} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(8 x^{3} \cos{\left(x^{2} \right)} + 12 x \sin{\left(x^{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 16 x^{4} \cos{\left(x^{2} \right)} - 48 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 12 \cos{\left(x^{2} \right)}}{- 16 x^{4} \sin{\left(x^{2} \right)} + 48 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} + 12 \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 16 x^{4} \cos{\left(x^{2} \right)} - 48 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 12 \cos{\left(x^{2} \right)}}{- 16 x^{4} \sin{\left(x^{2} \right)} + 48 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} + 12 \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / 2\ \
|1 - cos\x / |
lim |------------|
x->0+| 2 / 2\|
\x - sin\x //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
oo
$$\infty$$
= 68402.9999956142
/ / 2\ \
|1 - cos\x / |
lim |------------|
x->0-| 2 / 2\|
\x - sin\x //
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right)$$
oo
$$\infty$$
= 68402.9999956142
= 68402.9999956142
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}{x^{2} - \sin{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico