Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+} \sin{\left(8 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+} \cos{\left(7 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{\cos{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(8 x \right)}}{\frac{d}{d x} \cos{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+}\left(- \frac{8 \cos{\left(8 x \right)}}{7 \sin{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+} - \frac{8}{7}$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\left(-1\right) \pi}{2}^+} - \frac{8}{7}$$
=
$$- \frac{8}{7}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)