Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- |- uno +x|/(x^ dos -x^ tres)
- módulo de menos 1 más x| dividir por (x al cuadrado menos x al cubo )
- módulo de menos uno más x| dividir por (x en el grado dos menos x en el grado tres)
- |-1+x|/(x2-x3)
- |-1+x|/x2-x3
- |-1+x|/(x²-x³)
- |-1+x|/(x en el grado 2-x en el grado 3)
- |-1+x|/x^2-x^3
- |-1+x| dividir por (x^2-x^3)
-
Expresiones semejantes
- |+1+x|/(x^2-x^3)
- |-1+x|/(x^2+x^3)
- |-1-x|/(x^2-x^3)
Límite de la función |-1+x|/(x^2-x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
/|-1 + x|\
lim |--------|
x->1+| 2 3 |
\x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right)$$
Limit(|-1 + x|/(x^2 - x^3), x, 1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 - x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2} \left(1 - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} - \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{2 \left|{x - 1}\right|}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} - \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{2 \left|{x - 1}\right|}{x^{3}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 - x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2} \left(1 - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} - \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{2 \left|{x - 1}\right|}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} - \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x^{3} - x^{2}} + \frac{2 \left|{x - 1}\right|}{x^{3}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = -1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/|-1 + x|\
lim |--------|
x->1+| 2 3 |
\x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right)$$
-1
$$-1$$
= -1
/|-1 + x|\
lim |--------|
x->1-| 2 3 |
\x - x /
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{- x^{3} + x^{2}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
= 1