Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((cinco +x)/x)^(cinco + dos *x)
- ((5 más x) dividir por x) en el grado (5 más 2 multiplicar por x)
- ((cinco más x) dividir por x) en el grado (cinco más dos multiplicar por x)
- ((5+x)/x)(5+2*x)
- 5+x/x5+2*x
- ((5+x)/x)^(5+2x)
- ((5+x)/x)(5+2x)
- 5+x/x5+2x
- 5+x/x^5+2x
- ((5+x) dividir por x)^(5+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((5-x)/x)^(5+2*x)
- ((5+x)/x)^(5-2*x)
Límite de la función ((5+x)/x)^(5+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
5 + 2*x
/5 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
Limit(((5 + x)/x)^(5 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{2 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u + 5}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10} = e^{10}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = e^{10}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{2 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{2 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u + 5}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10} = e^{10}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = e^{10}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = e^{10}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = 279936$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = 279936$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = e^{10}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = 279936$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = 279936$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x + 5} = e^{10}$$
Más detalles con x→-oo