Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- log(uno + uno /n)/log(uno + uno /(uno +n))
- logaritmo de (1 más 1 dividir por n) dividir por logaritmo de (1 más 1 dividir por (1 más n))
- logaritmo de (uno más uno dividir por n) dividir por logaritmo de (uno más uno dividir por (uno más n))
- log1+1/n/log1+1/1+n
- log(1+1 dividir por n) dividir por log(1+1 dividir por (1+n))
-
Expresiones semejantes
- log(1+1/n)/log(1-1/(1+n))
- log(1-1/n)/log(1+1/(1+n))
- log(1+1/n)/log(1+1/(1-n))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(2*x))/log(cos(3*x))
- log(x)/(1+x)
- log(x)/(1-x)
- log((5+3*x)/(-4+3*x))^(2*x)
- log(1+2*x)/(3+x)
- Logaritmo log
- log(cos(2*x))/log(cos(3*x))
- log(x)/(1+x)
- log(x)/(1-x)
- log((5+3*x)/(-4+3*x))^(2*x)
- log(1+2*x)/(3+x)
Límite de la función log(1+1/n)/log(1+1/(1+n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 1\ \
| log|1 + -| |
| \ n/ |
lim |--------------|
n->oo| / 1 \|
|log|1 + -----||
\ \ 1 + n//
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right)$$
Limit(log(1 + 1/n)/log(1 + 1/(1 + n)), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}}{\log{\left(\frac{n + 2}{n + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{n^{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(- \frac{n}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{2}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}^{2}}{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1}\right) \log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{n^{2} \left(- \frac{n}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{2}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}^{2}}{\log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{n^{2} \left(- \frac{n}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{2}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}^{2}}{\log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{n + 1}{n} \right)}}{\log{\left(\frac{n + 2}{n + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{n^{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(- \frac{n}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{2}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}^{2}}{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1}\right) \log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{n^{2} \left(- \frac{n}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{2}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}^{2}}{\log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{n^{2} \left(- \frac{n}{\left(n + 1\right)^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{2}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}^{2}}{\log{\left(\frac{n}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} \right)}^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico