$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(e^{- x} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(e^{- x - 1} \right)}}\right) = e$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(e^{- x} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(e^{- x - 1} \right)}}\right) = \frac{\pi}{4 \operatorname{atan}{\left(e^{-1} \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(e^{- x} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(e^{- x - 1} \right)}}\right) = \frac{\pi}{4 \operatorname{atan}{\left(e^{-1} \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(e^{- x} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(e^{- x - 1} \right)}}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(e^{-1} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(e^{-2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(e^{- x} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(e^{- x - 1} \right)}}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(e^{-1} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(e^{-2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(e^{- x} \right)}}{\operatorname{atan}{\left(e^{- x - 1} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo