Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (e^x-e^(-x))/x
- (e en el grado x menos e en el grado ( menos x)) dividir por x
- (ex-e(-x))/x
- ex-e-x/x
- e^x-e^-x/x
- (e^x-e^(-x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (e^x+e^(-x))/x
- (e^x-e^(x))/x
Límite de la función (e^x-e^(-x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -x\
|E - E |
lim |--------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right)$$
Limit((E^x - E^(-x))/x, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 1\right) e^{- x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 e^{2 x}}{x e^{x} + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x e^{x} + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x e^{x} + e^{x}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 1\right) e^{- x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 e^{2 x}}{x e^{x} + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x e^{x} + e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x e^{x} + e^{x}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ x -x\
|E - E |
lim |--------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
/ x -x\
|E - E |
lim |--------|
x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
= 2.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = \frac{-1 + e^{2}}{e}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico