Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- (dos +n)^ tres /(uno +n)^ tres
- (2 más n) al cubo dividir por (1 más n) al cubo
- (dos más n) en el grado tres dividir por (uno más n) en el grado tres
- (2+n)3/(1+n)3
- 2+n3/1+n3
- (2+n)³/(1+n)³
- (2+n) en el grado 3/(1+n) en el grado 3
- 2+n^3/1+n^3
- (2+n)^3 dividir por (1+n)^3
-
Expresiones semejantes
- (2+n)^3/(1-n)^3
- (2-n)^3/(1+n)^3
Límite de la función (2+n)^3/(1+n)^3
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3\
|(2 + n) |
lim |--------|
n->oo| 3|
\(1 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
Limit((2 + n)^3/(1 + n)^3, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^3:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{n} + \frac{12}{n^{2}} + \frac{8}{n^{3}}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{n} + \frac{12}{n^{2}} + \frac{8}{n^{3}}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u^{3} + 12 u^{2} + 6 u + 1}{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 6 + 8 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 1}{0^{3} + 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^3:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{n} + \frac{12}{n^{2}} + \frac{8}{n^{3}}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{6}{n} + \frac{12}{n^{2}} + \frac{8}{n^{3}}}{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u^{3} + 12 u^{2} + 6 u + 1}{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 6 + 8 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 1}{0^{3} + 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{2} + 12 n + 12}{3 n^{2} + 6 n + 3}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{2} + 12 n + 12}{3 n^{2} + 6 n + 3}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{3} + 6 n^{2} + 12 n + 8\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{2} + 12 n + 12}{3 n^{2} + 6 n + 3}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{2} + 12 n + 12}{3 n^{2} + 6 n + 3}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = 8$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = 8$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = \frac{27}{8}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = \frac{27}{8}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = 8$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = 8$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = \frac{27}{8}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = \frac{27}{8}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 2\right)^{3}}{\left(n + 1\right)^{3}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico