Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- (x/(uno +x))^(x^ dos / dos)
- (x dividir por (1 más x)) en el grado (x al cuadrado dividir por 2)
- (x dividir por (uno más x)) en el grado (x en el grado dos dividir por dos)
- (x/(1+x))(x2/2)
- x/1+xx2/2
- (x/(1+x))^(x²/2)
- (x/(1+x)) en el grado (x en el grado 2/2)
- x/1+x^x^2/2
- (x dividir por (1+x))^(x^2 dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- (x/(1-x))^(x^2/2)
Límite de la función (x/(1+x))^(x^2/2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x
--
2
/ x \
lim |-----|
x->oo\1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
Limit((x/(1 + x))^(x^2/2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}{u}} = e^{\frac{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}{u}} = e^{\frac{\frac{\left(- u - 1\right)^{2}}{2} - \frac{1}{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 1}\right)^{\frac{x^{2}}{2}} = \infty$$
Más detalles con x→-oo